A análise combinatória ou combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Suponha a necessidade contar:
De quantas maneiras você pode apresentar seus produtos em uma vitrine ...
De quantas maneiras você você pode compor uma cardápio com um determinado tipo de insumo ...
Quantas possibilidades de looks se faz com um determinado número de peças de roupa ...
Quantos tipos de de suco se faz com 3 tipos de frutas diferentes ...
Quantas senhas diferentes de 6 números podem ser geradas...
Quantas possibilidades de looks se faz com 3 sapatos de duas cores diferentes ...
Quantos combos se faz com 3 tipos de sanduiches, 2 tipos de bebidas e 4 tipos de sobremesas...
Quantas maneiras diferentes um time pode ser escalado...
E muito mais ...
“Fazer do limão uma grande limonada” já ouviu esse jargão? “E fazer muito com pouco” já ouviu esse conceito? No dia a dia dos negócios há uma necessidade que envolve problemas com contagem que não nos damos conta. Trata de usar o conhecimento da combinação, arranjos e permutações para aumentar as opções de oferecer seus produtos para os seus clientes e assim aumentar suas oportunidades de venda.
As respostas para essas perguntas são as possibilidades de você apresentar os mesmos produtos em diferentes combinações e arranjos ampliando as possibilidades para seus clientes e aumentando suas chances de venda.
Por que privilegiar o estudo de combinações, arranjos e permutas em Análise Combinatória?
Eles são os mais simples e de uso mais amplo;
Permitem resolver grandes quantidades de problemas de Análise Combinatória;
Sua aplicabilidade se estende a problemas de probabilidade finitas, um campo importante da análise combinatória.
Princípio Fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinar-se. É o principal conceito ensinado na análise combinatória.
É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação.
Esse princípio afirma que, se eu preciso tomar mais de uma decisão e cada uma delas podem ser tomadas de x, y, z maneiras, para sabermos a quantidade de formas que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente, basta calcular o produto dessas possibilidades.
Exemplo:
Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?
Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.
Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.
Total de possibilidades: 3.2.4 = 24
Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.
Permutação Simples
A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar quantas maneiras existem para ordenar os elementos de um conjunto finito.
•Permuta Simples
•Permuta Composta
•Permuta Circular
Definimos Permutação Simples como o número de possibilidades que podemos organizar n elementos distintos em n posições, de forma que cada possibilidade seja diferente da ordem em que os elementos aparecem.
A permutação simples pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Como saberei que a operação de contagem trata-se de um permuta?
O número de objetos é igual ao número de posições.
Exemplo: Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?
R: Os números sorteados da mega sena formam uma sequência de seis números. Para calcular as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado, basta calcular:
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Arranjo Simples
Arranjo é uma forma de agrupar elementos de um conjunto de forma que a maneira a tomar os elementos seja diferente pela ordem e natureza dos elementos.
Diferente da Permutação onde o número de objetos precisa ser igual ao números de posições, no arranjo o número de objetos não são iguais ao número de posições, entretanto a ordem dos objetos nas posições importam para o arranjo.
O Arranjo Simples é quando não ocorre repetição de qualquer elemento do conjunto inicial. Cada elemento pode ser usado apenas uma vez.
Podemos calcular um arranjo simples utilizando a seguinte fórmula:
Onde:
An, k: é o arranjo;
n: total de elementos do evento;
k: total de agrupamentos, com k ≤ n;
Exemplo: As senhas bancárias são construídas com 4 dígitos numéricos. Durante a criação da senha, a gerente recomendou que criasse uma senha com 4 dígitos, todos distintos entre si. De quantas maneiras sem repetição de números pode-se criar essa senha?
R: Existem 10 opções possíveis de símbolos de 0 a 9.
São possíveis 5.040 maneiras distintas de arranjar.
Combinação
A combinação é um dos tipos de agrupamentos também estudado na análise combinatória. Podemos formar subconjuntos com uma quantidade de elementos de um conjunto maior.
Na combinação se ressalta que a ordem não é importante, ou seja, o conjunto formado pelos elementos {A, B, C} é o mesmo independentemente da ordem desses elementos.
Já no arranjo essa ordem importaria e determinaria um novo arranjo. Sendo essa a principal diferença entre arranjo e combinação.
Utilizamos combinação simples quando a ordem dos elementos no evento não importa, porém cada elemento pode ser contado somente uma vez.
Calculamos uma combinação simples utilizando a seguinte fórmula:
Onde:
Cn,k: é a combinação simples;
n: total de elementos do evento;
k: total de agrupamentos do evento, com k ≤ n.
Exemplo: Quantas saladas contendo exatamente 4 frutas podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes? (Poderia ser qualquer tipo de negócio)
R:
São possíveis 210 modos de combinar
Tem muito mais aprendizado por aí
• Idioma: Português
• Aulas: 13 aulas
• Tempo: 1,5 horas
• Requisito Mínimo: Nenhum
O curso é destinado para qualquer pessoa que queira ampliar seu conhecimento com as técnicas de contagem mais amplamente utilizada.
Não há qualquer necessidade de conhecimento especifico prévio. Se você já teve matemática no ensino fundamental ou médio está mais que habilitado para as compreensões acerca deste curso.
Estrutura do Curso:
Unidade 1:
•Introdução a Combinatória
•Princípio Fundamental da Contagem
•Fatorial
•Relembrando as Operações com Conjunto
Unidade 2:
•Permuta Simples
•Permuta Composta
•Permuta Circular
Unidade 3:
•Arranjos Simples
•Arranjos com Repetição
Unidade 4:
•Combinação Simples
•Combinação com Repetição
Unidade 5:
•Resumo da Análise Combinatória
•Probabilidade e a Combinatória