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Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem é uma técnica para calcularmos de quantas maneiras decisões podem combinar-se. É o principal conceito ensinado na análise combinatória.


É a partir dele que se desenvolveram os demais conceitos dessa área e as fórmulas de fatorial, combinação, arranjo, permutação.


Esse princípio afirma que, se eu preciso tomar mais de uma decisão e cada uma delas podem ser tomadas de x, y, z maneiras, para sabermos a quantidade de formas que essas decisões podem ser tomadas simultaneamente, basta calcular o produto dessas possibilidades, também conhecido como PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO.

 

Exemplo 1:

Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cereja, cupcake de chocolate, cupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?


Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.


Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.


Total de possibilidades: 3.2.4 = 24


Portanto, temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.


Exemplo 2:

Para cada par de sapato, Maria possui duas possibilidades de escolhas: preto ou branco. Se ela tem 3 sapatos, quantas possibilidades de look ela poderá fazer?


Sapato: 3

Cor: 2

Logo:

S . C = 3 . 2 = 6 possibilidades



 

Observação: O Princípio Fundamental da contagem, é conhecido como princípio multiplicativo. Existe também o Princípio Aditivo da Contagem, nele realiza-se a união de dois ou mais conjuntos. Sua origem vem da teoria dos conjuntos.



• Se A e B são conjuntos finitos tais que A ∩ B = ∅,

então A ∪ B também é finito e vale a igualdade n(A ∪ B) = n(A) + n(B).



• No caso em que A e B são conjuntos disjuntos, isto é, conjuntos tais que

A ∩ B ≠ ∅, vale a igualdade n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B).


Exemplo 3:

Em uma entrevista sobre qual cor se prefere, entre vermelho, azul ou ambas cores, obteve-se com resposta que: 20 dos entrevistados preferem a cor vermelha; 40 preferem a cor azul; e 10 gostam de ambas as cores. Calcule o número total de entrevistados.


Para calcular o total de entrevistados, faça:

n (A U B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B ) = 20 + 40 – 10 = 50




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